熱力学的エントロピーと情報エントロピーは同じものかどうか(4)

今回は前回計算した断熱自由膨張のエントロピーに関して、分子1個の場合を見ていきます。

f:id:guppi524:20200509122816p:plain — 分子1個の断熱自由膨張(膨張前)

前回、真ん中に間仕切りのある箱で体積2倍の断熱自由膨張が起こったとき、熱力学的エントロピーはもとの状態の $nR \log 2$ だけ増えることを見ました。分子1個の場合、 $N=1$ なので、気体1モルの分子の個数（アボガドロ数）を $N_A$ とした場合、分子1個のとき体積2倍の断熱自由膨張は起こると $R/N_A \times \log 2$ 倍だけ増えることになります。このときの $R/N_A$ には記号と名前がついていて、 $R/N_A = k$ のことをボルツマン定数と言います。意味は分子1個当たりの気体定数です。ボルツマン定数 $k$ を使って熱力学的エントロピーの増分を表すと $k \log 2$ となります。

f:id:guppi524:20200509122921p:plain — 分子1個の断熱自由膨張(膨張後)

ところで、分子1個の場合、箱の間仕切りを取り除いた前後で何の変化が起きたのでしょう。分子1個の運動エネルギーは変化しません。しかし、熱力学的エントロピーは変化しています。起こったことは、分子が存在する可能性のある場所が2倍となったことです。ここで思考の飛躍をともないますが、分子が存在する場所に対しての我々の知識が変化した、ということもできます。

さて、次に分子1個が箱の左右どちら側にあるかの存在確率について、情報エントロピーがどうなるかを考えます。断熱膨張前では、箱の左側にあることが確定していますので、箱の左側にある確率が1、箱の右側にある確率は0です。このときの情報エントロピーは、前々回のブログに記載した情報エントロピーの式 $\displaystyle{ H = -\sum_i p_i \log p_i }$ から

$\displaystyle{ H = -(1 \log 1 + 0 \log 0) = 0 }$

となります。(詳しくは書きませんが、確率0の時の情報エントロピーは0とされています。)

f:id:guppi524:20200509122931p:plain — 分子が箱の左右どちら側にあるか

これが断熱膨張後だと、箱の左側にある確率が $1/2$ 、箱の右側にある確率も $1/2$ となります。その結果、情報エントロピーは、

$\displaystyle{ H = -( \frac{1}{2} \log \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log \frac{1}{2} ) = \log 2 }$

となり、なんともとの状態から $\log2$ だけ増えることとなります。

さて、分子1個が存在する箱の体積が2倍になったとき、熱力学エントロピーの増分が $k \log 2$ で、情報エントロピーの増分が $\log 2$ というのは何か関連があるのではないでしょうか? 同じように見えても、ボルツマン定数 $k$ が違っているからやはり違うものなのでしょうか? そもそもボルツマン定数 $k$ は分子1個あたりの気体定数のほかに意味があるのでしょうか? 今回はここまでにしたいと思います。(続きはもう書かないかも…)